Sistemas de control en tiempo discreto (página 2)

Partes: 1, 2

Sistemas de Control en Tiempo Discreto
SubTransformada Z: Definición General
Dada una secuencia discreta, para y haciendo en la expresión de la transformada de Laplace de una señal muestreada, se define a la transformada Z como:

En detalle:

Sistemas de Control en Tiempo Discreto
SubTransformada Z: Ejemplos
Considérese la función escalón unitario:

Entonces,

Pero se sabe por convergencia de series que la serie, converge a:
si

con lo que, convergerá como:

si

Sistemas de Control en Tiempo Discreto
SubTransformada Z: Ejemplos
Considérese ahora la función:

Luego,

La convergencia de la serie es: para

con lo que,

Sistemas de Control en Tiempo Discreto
SubTransformada Z: Nomenclatura y convenciones
Función continua:

Función continua muestreada:

Secuencia:

Transformada de Laplace de una función continua muestreada:

Transformada Z de una función continua muestreada (secuencia):

Formalmente el asterisco * desaparece en la notación de la transformada Z ya que la transformada está definida sobre funciones discretas; sin embargo se puede escribir:

entendiéndose que primero se muestrea y luego se aplica la transformada.

Sistemas de Control en Tiempo Discreto
SubTransformada Z: Propiedades
Traslación Real: RETARDO

Sea entonces,

Haciendo resulta,

ya que para , queda finalmente:

Sistemas de Control en Tiempo Discreto
SubTransformada Z: Propiedades
Traslación Real: ADELANTO. Sea entonces,

Haciendo resulta

Representando a las condiciones iniciales, queda finalmente:

EJEMPLO:

Sistemas de Control en Tiempo Discreto
SubTransformada Z: Propiedades
CONVOLUCIÓN REAL

Se recuerda que en tiempo continuo, la convolución real es:

EJERCICIO: Demostrar la convolución real en tiempo discreto.

Sistemas de Control en Tiempo Discreto
SubTransformada Z: Ejemplo
Hallar la transformada dadas, la ecuación de diferencias

y las condiciones iniciales,

SOLUCIÓN:
Se tiene que, y

luego,

de donde:

Obsérvese que se ha obtenido una función racional en Z, equivalente a la función racional en el plano S que se obtiene para una ecuación diferencial en tiempo continuo.